Urodził się jako syn Pawła i Klaudii z domu Późniak. W roku 1898 rozpoczął studia na Wydziale Inżynieryjno – Budowlanym w Instytucie Politechnicznym w Warszawie ukończył je w 1902.
Po studiach dorabiał w wydziale architektonicznym zarządu Kolei – Warszawsko – Wiedeńskiej oraz zdobywał doświadczenie w pracowni słynnego architekta Józefa Piusa Dziekońskiego.  
W międzyczasie działał w Wydziale Konserwatorskim Towarzystwa Opieki nad Zabytkami Przyszłości oraz Kole Architektów.  

Pierwszym jego sukcesem było wygranie konkursu na projekt warszawskiego kościoła Niepokalanego Poczęcia NMP przy ul. Grójeckiej, w którym połączył architekturą romańską z elementami gotyku oraz modernizmu.

W 1914 został profesorem Politechniki Lwowskiej lecz jego pracę przerwał wybuch I wojny. Sosnowski dostał powołanie do armii rosyjskiej.  Po wojnie kierował Kursem Odbudowy w Ministerstwie Robót Publicznych i wykładał historię architektury na Politechnice Warszawskiej.
Z jego inicjatywy utworzono tam Zakład Architektury Polskiej. Działalność Zakładu obejmowała inwentaryzację i pomiary architektury ludowej (między innymi na terenie Województwa Białostockiego). W 1924 zaprojektował neobarokowy kościół św. Agnieszki w Goniądzu. W 1925 uzyskał tytuł doktora nauk technicznych za rozprawę pt. Powstanie, układ i cechy charakterystyczne sieci ulicznej na obszarze Wielkiej Warszawy. W 1926 wygrał konkurs na projekt „Świątyni Opatrzności Bożej w Białymstoku”.  Prace budowlane rozpoczęto w 1927 a zakończono po śmierci Sosnowskiego w 1945 r.  Kościół ostatecznie pod wezwaniem św. Rocha  został zbudowany  w stylu modernistyczno-ekspresjonistycznym na planie ośmioboku do dziś jest uznawany za jedną
z najwybitniejszych budowli sakralnych dwudziestolecia międzywojennego.   W 1929 zainicjował serię wydawnictw pod tytułem „Studia do dziejów Sztuk w Polsce” wydawał czasopismo „Biuletyn Naukowy” a nawet pojawiał się w Polskim Radiu. W latach przedwojennych zajmował się malarstwem, rzeźbiarstwem czy muzyką. W 1937 rozpoczął realizację kościoła św. Andrzeja Boboli w Starosielcach. Jego budowa została ukończona w 1959 roku.

W czasie wojny postanowił zamieszkać w gmachu Wydziału Architektury, aby zaopiekować się tamtejszymi zbiorami.  Oskar Sosnowski zginął bohaterską śmiercią 24 września 1939 roku, raniony odłamkiem pocisku na dziedzińcu Wydziału podczas ratowania archiwum z inwentaryzacjami polskiej architektury.

Jak wybitną i zasłużoną dla Województwa Podlaskiego postacią był Sosnowski nikogo przekonywać nie trzeba. Do dnia dzisiejszego Podlasianie i znawcy architektury fascynują się jego dziełami.  Aby uczcić  pamięć Oskara Sosnowskiego, nazwano w Białymstoku jego imieniem ulicę, przy której mieści się Wydział Architektury Politechniki Białostockiej.